Rabu, 22 Juni 2011

TURUNAN PARSIAL

             KALKULUS II

NAMA     : AGUS GUNAWAN
NPM       : 103112706450020
TI

Turunan Fungsi dua Variabel
Turunan Parsial.
Diketahui   z = f(x,y) fungsi  dengan dua variabel independen x dan y.  Karena  x dan y independen maka :
                (i).  x  berubah-ubah sedangkan y tertentu.
                (ii). y  berubah-ubah sedangkan x tertentu. 



Definisi
i) Turunan parsial terhadap variabel x
                     Jika  x  berubah-ubah  dan y  tertentu maka  z  merupakan fungsi xTurunan parsial  z = f(x,y) terhadap x  sbb :






ii) Turunan parsial terhadap variabel y
      Jika  y  berubah-ubah  dan x  tertentu maka  z  merupakan fungsi
      y,  Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap y  sbb :









a.       Fungsi dua peubah atau lebih
            Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit.  Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum  ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.

Contoh:
1.      z = 2x + y

2.      xy + xz – yz = 0


Pada contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah pada contoh 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.
            Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z.



a.      Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah
            Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:
  1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
  2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah
  3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.
            Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.
Definisi
Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan 










Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan  sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan  sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.


            Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh:









Asalkan limitnya ada.

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.
Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.





. Differensial Total dan Turunan Total
Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan.

Turunan Parsial Fungsi Implisit
Fungsi Implisit 4 Peubah
BU dinyatakan dengan






Atau ditulis dalam bentuk
F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0
dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.




Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud.
Contoh:




















3 komentar:

  1. contoh soAL gan yang ini Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah ????

    BalasHapus
  2. Harrah's Cherokee Casinos & Resorts - Mapyro
    MapYRO 경주 출장샵 Realtime driving directions to Harrah's Cherokee 공주 출장안마 Casinos & 통영 출장안마 Resorts, 777 오산 출장안마 Casino Parkway, 당진 출장마사지 Cherokee, based on live traffic updates and road conditions – from

    BalasHapus